Groupe de travail Courbure, transport optimal, et probabilités

Le groupe de travail “Courbure, transport optimal, et probabilités” a été créé dans le cadre des projets ANR GeMeCoD et Stab (http://math.univ-lyon1.fr/wikis/Stab/doku.php?id=start)

  • Quand : Un jeudi par mois 14h-17h
  • Où : Institut Henri Poincaré, Paris, salle 01
  • Organisateurs : N. Gozlan et M. Fradelizi (en remplacement de C. Léonard depuis 2016)

Objectifs du groupe de travail

Ce groupe de travail est dédié à l'étude des liens entre Courbure, Transport Optimal, et Probabilités (C-TOP !). L'accent sera mis sur leurs conséquences en termes d'inégalités fonctionnelles, de comportement en temps long de certaines ÉDP dissipatives et de concentration de la mesure, dans l'esprit du livre de Cédric Villani intitulé «Optimal transport. Old and new». L'extension des résultats connus dans un cadre continu à des situations où l'espace d'état est discret y sera explorée. Les suggestions de tous seront les bienvenues pour faire de ce GT un outil efficace et convivial et le faire évoluer au cours du temps.

Sessions 2017-2018

  • 7 septembre (salle 201) : Réunion d'organisation
  • 21 septembre (salle 201) : Benjamin Schachter (University of Toronto)
    Eulerian calculus on Wasserstein Space.
    Résumé : The optimal transport problem defines a notion of distance in the space of probability measures over a manifold, the Wasserstein space. In his thesis, McCann discovered that this space is a length space: the distance between probability measures is given by the length of minimizing geodesics called displacement interpolants or Wasserstein geodesics. In 2000, Otto defined a (purely formal) Riemannian calculus allowing the computation of tangent vectors to displacement interpolants and the computation of Hessians of functionals along these geodesics. In this talk, I will present an Eulerian calculus on Wasserstein space, which extends the Otto calculus from a purely Riemannian setting to general Lagrangians. This Eulerian calculus allows for the computation of derivatives and Hessians of functionals involving derivatives of densities, resolving a question of Villani. New first order displacement convex functionals are presented. Finally, I will show how this calculus can be made rigorous via the DiPerna-Lions theory of renormalized solutions. This talk is based on my thesis and ongoing joint work with Almut Burchard.
  • 5 octobre (salle 421) : Florent Benaych-Georges (Université Paris 5)
    Valeurs propres extrêmes de graphes d'Erdös-Rényi.
    Résumé : Dans cet exposé, nous présenterons des travaux récents réalisés en collaboration avec Charles Bordenave et Antti Knowles donnant des estimées des valeurs propres extrêmes de la matrice d'adjacence centrée d'un graphe d'Erdös-Rényi, éventuellement inhomogène. Dans le cas du Stochastic Block Model, ces travaux quantifient l'efficience de l'algorithme de clustering spectral, alors que dans le cas du graphe d'Erdös-Rényi homogène, ils établissent une transition entre un spectre compact et un spectre diffus, à un seuil qui coïncide avec le seuil d'apparition d'une composante connexe géante. Les preuves de ces résultats mettent en évidence deux régimes classiques des matrices aléatoires : le régime localisé et le régime délocalisé.
  • 23 novembre (salle 01) : Giovanni Conforti (Ecole Polytechnique)
    The dynamics of Schroedinger bridges.
    Abstract: A Schroedinger bridge is a stochastic process which provides with a probabilistic version of the displacement interpolation between probability measures. In this talk I will start by surveying the parallelism between the Schroedinger problem and the Monge-Kantorovich problem. Next, I will present some recently obtained results for the dynamics of Schroedinger bridges. In particular, I will discuss an equation for the marginal flow, quantitative bounds for the evolution of the marginal entropy, and provide some applications. Finally, I will outline some connections between the so called ``reciprocal characteristics” of a Langevin dynamics and the convexity of the Fisher information.
  • 7 décembre (salle 01) : Max von Renesse (Universität Leipzig)
    Coagulating Fragmentating Wasserstein Dynamics on the Real Line.
    Abstract: We introduce a new reversible fragmentating coagulating process of particles with variable sizes interacting on the real line. The construction is based on a new class of measures on the set of real increasing functions which serve as reference measures for a family of naturally associated Dirichlet forms. The process is an infinite dimensional version of sticky reflecting dynamics on simplices. Among other things we identify the intrinsic metric which allows to prove a Varadhan formula with the Wasserstein metric for the associated measure valued diffusion. Joint work with Vitalii Konarovskyi.
  • 18 janvier (salle 01) : Tony Prochazka (Université de Franche-Comté)
  • 8 février (salle 01) :
  • 22 mars (salle 01) :
  • 12 avril (salle 01) :
  • 3 mai (salle 01) :
  • 21 juin (salle 201) : Benoît Kloeckner (Université Paris- Est Créteil)

Sessions 2016-2017

  • 6 octobre : Olivier Guédon (Université Paris-Est Marne-la-Vallée)
    Principes de grandes déviations pour les projections d'un vecteur aléatoire uniformément distribué sur les boules $B_p^n$ d'après Nina Gantert, Steven Soojin Kim, et Kavita Ramanan.
  • 17 novembre : Jimmy Lamboley (Université Paris Dauphine)
    Optimisation et contrainte de convexité.
    Résumé : Dans cet exposé, on s’intéresse à des problèmes d’optimisation de forme dans l’ensemble des domaines convexes, par une approche de calcul de variations (question d’existence de minimiseur, écriture de conditions d’optimalité…). On commencera par décrire de nombreux exemples issus de branches diverses et qui rentrent dans ce cadre (le problème de résistance minimal de Newton, la conjecture de Mahler, la conjecture de Polya-Szego, les problèmes isopérimétriques inverses et de Faber-Krahn inverses, le problème de trou spectral). On montrera un phénomène commun à toutes les solutions de ces problèmes, à savoir une saturation de la contrainte de convexité (la courbure de Gauss veut s’annuler autant que possible). Enfin, on expliquera comment on peut dans certains cas préciser ce comportement et en déduire des informations sur les minimiseurs.
  • 5 janvier : Matthieu Fradelizi (Université Paris-Est Marne-la-Vallée) et Nathael Gozlan (Université Paris 5)
    Inégalité d'Ehrhard et de propriétés d'hypercontractivité raffinées du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck.
    Résumé : La première partie de l'exposé présentera l'inégalité d'Ehrhard qui est une sorte d'inégalité de Brunn-Minkowski gaussienne optimale. On parlera de ses conséquences et de quelques unes de ses preuves récentes. La deuxième partie montrera comment l'inégalité d'Ehrhard peut être utilisée pour obtenir de nouvelles inégalités de concentration pour les fonctions convexes sous la mesure gaussienne. Nous verrons que ces nouvelles inégalités de concentration permettent de retrouver partiellement un résultat d'Eldan-Lee et Lehec sur une propriété d'hypercontractivité fine du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck. D'après Gozlan-Madiman-Roberto-Samson, van Handel, Paouris-Valettas, Paouris-Neeman.
  • 23 février : Jérémie Bigot (Université de Bordeaux)
    Régularisation, taux de convergence et stabilité des barycentres dans l’espace de Wasserstein.

    Résumé : Le concept de barycentre dans l’espace de Wasserstein introduit par Agueh & Carlier (2011) correspond à la notion de moyenne de Fréchet d’un ensemble de mesures de probabilités à support multivarié. Dans cet exposé, il est proposé de discuter des propriétés statistiques des barycentres de Wasserstein pour des applications à la caractérisation de la moyenne d’un ensemble d’histogrammes ou de formes planaires. Dans une première partie, il sera discuté de l’importance (ou non) du rôle de la régularisation du barycentre de Wasserstein d’un ensemble de mesures absolument continues ou ponctuelles (i.e. éventuellement non-régulières). Les propriétés statistiques en terme de vitesse de convergence de ce type de barycentre régularisé seront discutées pour la distance de Wasserstein et la divergence de Bregman associée au terme de régularisation. Dans une deuxième partie, on s’intéressera à la stabilité d’un barycentre de Wasserstein par rapport à l’ensemble de mesures de probabilité utilisé pour le calculer en lien avec la géométrie de l’espace de mesures sous-jacent.
  • 2 mars : Patrick Cattiaux (Université de Toulouse 3)
    Inégalités fonctionnelles et processus stochastiques
    Résumé : Si les inégalités fonctionnelles donnent des informations importantes sur le comportement de certains processus stochastiques associés, en retour l'étude directe (trajectorielle) de ceux ci permet d'établir ou de mieux comprendre certaines inégalités. Par exemple, l'inégalité de Poincaré se comprend via l'intégrabilité exponentielle des temps d'atteinte de certains compacts; certaines fonctionnelles du processus fournissent des fonctions de Lyapunov permettant de montrer certaines inégalités (log-Sobolev par exemple) et réciproquement. Des techniques de retournement du temps permettent également de comparer les constantes apparaissant dans les inégalités relatives à différentes mesures (notamment dans le cas log-concave). Dans cet exposé on présentera sur deux exemples génériques l'utilisation de fonctionnelles liées au processus et l'utilisation du retournement du temps.
  • 27 avril : Kevin Tanguy (Université Paul Sabatier de Toulouse)
    Superconcentration : survol et outils généraux.
    Nous proposerons une introduction au phénomène de superconcentration en survolant les principaux modèles connus (Matrices aléatoires, marche aléatoire branchante, suites gaussiennes stationnaires,…). Nous introduirons ensuite quelques outils généraux permettant de produire de la superconcentration : inégalité de Talagrand, extension au niveau exponentiel d'un théorème de Chatterjee. Nous illustrerons ceci sur le cas de suites gaussiennes stationnaires. Nous développerons ensuite une méthode d'interpolation permettant d'atteindre des inégalités de Talagrand d'ordres supérieurs pour la mesure gaussienne standard sur R^n, ainsi que pour la mesure uniforme sur le cube discret. Nous fournirons une application sur les influences doubles dans l'esprit du théorème de Kahn-Kalai-Linial. Enfin, si le temps le permet, nous évoquerons comment ces méthodes d'interpolations peuvent s'utiliser sous la forme d'inégalité de courbure dimension, intégrée, inverse.
  • 4 mai : Joseph Lehec (Université Paris Dauphine)
    Localisation stochastique et conjecture de KLS d'après Eldan d'une part et Y.T. Lee et Vempala d'autre part.
    Je présenterai l'article d'Eldan, dans lequel il introduit la méthode de localisation stochastique et il démontre que la conjecture KLS se ramène à la conjecture de la variance. Ensuite j'exposerai la borne en n^{1/4} pour la conjecture KLS due à Lee et Vempala, toujours basée sur la localisation d'Eldan.
  • 15 juin : Artem Zvavitch (Kent State University)
    On the convexification effect of Minkowski summation.
    For a compact subset $A$ of $R^n$ , let $A(k)$ be the Minkowski sum of $k$ copies of $A$, scaled by $1/k$. It is well known that $A(k)$ approaches the convex hull of $A$ in Hausdorff distance as $k$ goes to infinity. In this talk we will discuss how exactly $A(k)$ approaches the convex hull of $A$, and more generally, how a Minkowski sum of possibly different compact sets approaches convexity, as measured by various indices of non-convexity. The non-convexity indices considered will include the Hausdorff distance induced by most general norm, the volume deficit (the difference of volumes), a non-convexity index introduced by Schneider (1975), and the effective standard deviation or inner radius. We will present relationships between those indices and move to discussion of monotonicity of convergence of $A(k)$ with respect to those indices. In particular, we will present a conjecture proposed, a few years ago, by Bobkov, Madiman and Wang, that the volume of $A(k)$ is non-decreasing in $k$, or in other words, that when the volume deficit between the convex hull of $A$ and $A(k)$ goes to $0$, it actually does so monotonically. While this conjecture holds true in dimension $1$, we show that it fails in dimension $12$ or greater. For other indices of non-convexity, we will present several positive results, including a strong monotonicity of Schneider’s index in general dimension, and eventual monotonicity of the Hausdorff distance and effective standard deviation. Along the way we will demonstrate applications of our results to Combinatorial Discrepancy Theory and Information theory. The talk is based on a joint work with Mokshay Madiman, Matthieu Fradelizi and Arnaud Marsiglietti.

Sessions 2015-2016

  • 1er octobre : F. Santambrogio (U. Orsay)
    Caractérisation variationnelle des mesures moment par transport optimal
    Résumé : On dit que $\mu$ est la mesure moment d'une fonction convexe $\psi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ si $\mu$ est la mesure image de la densité $e^{-\psi} $ par $\nabla\psi$. Dans un papier récent, Cordero-Erausquin et Klartag donnent une caractérisation variationnelle des mesures $\mu$ qui sont des mesures moment non triviales (après avoir fixé une classe de fonctions $\psi$ convenables, selon leurs propriétés de continuité). Nous allons revisiter cette notion, avec des méthodes explicitement de transport optimal : on va analyser une fonctionnelle, faisant intervenir l'entropie et les distances de Wasserstein à $\mu$, dont le problème de minimisation est bien posé sous les mêmes conditions sur $\mu$ trouvées par Cordero-Erausquin et Klartag, et telle que le minimiseur $\rho$ est de la forme $\rho=e^{-\psi} $ avec $\mu=(\nabla\psi)_\#\rho$, ce qui permet de revoir les mêmes résultats sous un autre angle, en remplaçant des inégalités fonctionnelles par des notions de transport.
  • 5 novembre : J. Dolbeaut (U. Dauphine)
    Inégalités fonctionnelles optimales, diffusions non linéaires et brisure de symétrie.
    Résumé: La brisure de symétrie est un phénomène fondamental de la physique. Lorsque l'on modélise des milieux continus, du point de vue de l'analyse mathématique des équations aux dérivées partielles, l'une des formes les plus simples de la brisure de symétrie apparait dans les équations non-linéaires faisant intervenir des poids ou des potentiels. C'est le cas, par exemple, lorsqu’une non-linéarité, qui tend à agréger et à concentrer la solution tout en la rendant symétrique, entre en compétition avec le poids, dont l'effet est de décentrer la solution. Les deux effets sont antagonistes, et tout l’enjeu est de savoir qui gagne. L'analyse de la stabilité linéaire des solutions symétriques fournit un critère simple, qui garantit la brisure de symétrie et permet de construire, par des méthodes de bifurcation, une branche de solutions non-symétriques qui co-existe avec la branche de solutions symétriques. Le cas de la symétrie est beaucoup plus difficile à caractériser. Les méthodes classiques utilisent des arguments de comparaison, basés par exemple sur des hyper-plans mobiles, des techniques de symétrisation, ou encore des estimations a priori. Toutes ces méthodes ne couvrent en général qu'une partie de l’ensemble des paramètres pour lesquels les solutions symétriques sont linéairement stables.

    Le travail réalisé avec Maria J. Esteban et Michael Loss est intitulé “Rigidity versus symmetry breaking via nonlinear flows on cylinders and Euclidean spaces.” Ce travail permet d’apporter une réponse complète dans un cas relativement simple et néanmoins intéressant d’analyse non linéaire. Il s'agit de l'étude des fonctions optimales pour des inégalités de Caffarelli-Kohn-Nirenberg, qui sont des inégalités de type Sobolev, critiques, pour des fonctions définies sur l'espace euclidien, avec des poids homogènes. Ces inégalités dépendent de deux paramètres (typiquement, les exposant des poids, mais on peut aussi choisir d’autre jeux de paramètres). Alors que les équations qui définissent les solutions optimales sont invariantes par rotation, toute la question est de savoir pour quels paramètres les solutions optimales sont elles-aussi à symétrie radiale. A ce jour, la question était restée ouverte. Notre résultat montre que le critère d'instabilité linéaire des solutions radiales, qui avait été établi par V. Felli et M. Schneider, est en fait un critère global pour la brisure de symétrie: dans la zone de stabilité linéaire, il n'y a pas d'autres solutions que les solutions radiales, alors que dans la zone complémentaire de l'espace des paramètres, ce sont les solutions non-radiales qui sont optimales.

    Le résultat clôt un long programme de recherche, mais c'est sans doute la méthode qui est le principal apport de l’article. L'idée principale consiste à faire évoluer la solution, ou plus généralement une fonction quelconque, dans le paysage d'énergie, en utilisant un flot non-linéaire de diffusion, de type milieu poreux ou diffusion rapide, adapté aux poids, et à établir des propriétés de monotonie pour la fonctionnelle d'énergie. Il s’agit donc de mettre en œuvre une diffusion ad hoc, construite pour les besoins du problème, pour montrer la monotonie, l’unicité, et en définitive, la symétrie. Utiliser des méthodes d’entropie non pour elles-même mais comme outil ouvre de nombreuses perspectives pour l'étude fine de la brisure de symétrie et, plus généralement, pour la démonstration de propriétés fines de fonctions optimales pour des inégalités fonctionnelles. L’un des ingrédients de la méthode consiste à utiliser des formulations équivalentes de l’inégalité fonctionnelle à poids, par exemple une inégalité d’interpolation, sans poids, sur un cylindre, ou encore une inégalité de type Sobolev, à poids, sur une sphère; ceci ouvre tout un champ de problèmes: diffusion sur des variétés compactes, flots gradients en présence de poids, équivalence avec des problèmes critiques en dimension “non entière,” etc.

    Plutôt que d’essayer de donner les preuves détaillées, le but du groupe de travail est de montrer ce qu’apportent les différentes pièces du puzzle: rôle de la non-linéarité dans l’espace euclidien, puis sur une variété compacte (la sphère) et pourquoi il ne suffit pas d’utiliser le flot de la chaleur, formulations équivalentes des inégalités de Caffarelli-Kohn-Nirenberg et “changement de dimension”, outils du calcul des variations, propriétés de régularité des solutions des équations d’Euler-Lagrange, et finalement décroissance des solutions et demeures dérivées, qui est une propriété cruciale pour justifier les calculs formels dans le cas de variétés non-compactes.
  • 3 décembre : R. Chetrite (U. Nice)
    Approche Probabiliste de la Physique Hors d'Equilibre via les Relations de Fluctuation.
    Résumé : Le but du cours est de familiariser les auditeurs avec les développements récents de la physique hors équilibre des systèmes mésoscopiques centrés autour des relations de fluctuation. Ces relations sont reliées a l'introduction de notions de fonctionnelles d'entropies fluctuantes associées à un processus aléatoire.
  • 7 janvier : Joseph Lehec (U. Dauphine)
    Échantillonnage de la mesure uniforme sur un convexe par Monte Carlo projeté.
    Résumé : Étant donné un corps convexe de grande dimension, je considère la chaine de Markov dont les transitions consistent à ajouter une petite Gaussienne et à projeter sur K (si jamais le pas gaussien nous a fait sortir de K). Je montrerai que cette chaine permet d'approcher la mesure uniforme sur K en un nombre d'étapes polynomial en la dimension. La méthode s'étend au cas où un potentiel convexe est ajouté, et permet donc d'échantillonner une mesure log-concave restreinte à un convexe. Travail en collaboration avec S. Bubeck et R. Eldan.
  • 4 février : N. Juillet (U. Strasbourg)
    Un aperçu du problème de transport martingale.
    Résumé : La solution du problème de transport (quadratique) entre des mesures de probabilités réelles est donnée par le réarrangement croissant. On parle parfois de couplage monotone pour le plan de transport correspondant. Lors de la séance j'introduirai des lois jointes de $\mathbb{R}^2$ (donc des plans de transport) satisfaisant à la condition des martingales sur l'espérance conditionnelle et qui partagent avec le couplage monotone certaines propriétés de monotonie et d'optimalité. Je présenterai dans ce contexte martingale certains aspects habituels de la théorie du transport: monotonie cyclique, dualité, existence, unicité… Des liens avec le plongement de Skorokhod et les processus croissants pour l'ordre convexe (PCOCs) seront établis. Je tenterai de faire le point sur le problème vectoriel et évoquerai certaines questions ouvertes.
  • 3 mars : Séance annulée.
  • 21 avril (en remplacement de la séance du 7/04) Quentin Mérigot (U. Dauphine)
    Discrétisation d'équations de Monge-Ampère.
    Résumé : Cet exposé est en deux partie. Dans la première partie, je montrerai (en suivant Alexandrov) comment construire des discrétisations convergentes de l'équation de Monge-Ampère sur un domaine convexe avec conditions de Dirichlet. Je présenterai un algorithme d'Oliker et Prussner pour la résolution des systèmes discret. La seconde partie sera consacrée à la résolution numérique de problèmes de transport optimal issus de l'optique géométrique, et dont la formulation fait apparaître des équations de type Monge-Ampère sur la sphère. Je présenterai un travail commun avec J. Kitagawa et B. Thibert, où nous utilisons une propriété géométrique de ces coûts de transport (condition de Ma-Trudinger-Wang) pour établir la convergence globale avec un taux optimal d'un algorithme de type “Newton amorti” pour résoudre les problèmes discrets.
  • 12 mai : Sergey Bobkov (U. Minnesota)
    Title: Berry-Esseen bounds in central limit theorem for transport distances.
    Abstract: For sums of independent random variables $S_n = X_1 + \ldots + X_n$, Berry-Esseen-type bounds are derived for the transport power distances $W_p$ in terms of Lyapunov coefficients $L_{p+2}$. These bounds extend the results by E. Rio from the range $1 < p \leq 2$ to all values $p>1$.
  • 9 juin (en remplacement de la séance du 2/06): Mokshay Madiman (U. Delaware)
    A confirmer. Titre à venir

Sessions 2014-2015

  • 16 octobre : P. Romon (U. Paris Est).
    Courbure de Ricci sur les graphes et les triangulation, d’après Ollivier
    Résumé :La définition d’invariants géométriques discrets tels la courbure est un problème ardu. En 2009, Ollivier a proposé une définition adaptée à un grand nombre de contextes (espace métriques mesurés) incluant notamment les graphes et les surfaces polyédriques, et qui coïncide avec la courbure de Ricci dans le cas riemannien. Lin, Lu et Yau, puis Bauer, Jost et Liu ont étendu et appliqué cette idée aux graphes, et donné des estimées de courbure, et par conséquent de diamètre, en fonction de la combinatoire (théorème de Myers). J'expliquerai l’idée d’Ollivier (comment utiliser le transport optimal pour définir une courbure), puis comment on l’estime ou la calcule pour certains graphes et surfaces polyédriques, ainsi que les questions que cela pose. Travail en collaboration avec Benoît Loisel.
  • 6 novembre : M. Fathi (U. Paris 6).
    Courbure de Ricci entropique et systèmes de particules
    Résumé : En 2011, Maas et Mielke ont indépendamment montré que, étant donné une chaîne de Markov réversible sur un espace fini, il existe une métrique sur l'espace des mesures de probabilité telle que la chaîne de Markov soit le flot gradient de l'entropie. Cette notion mène naturellement à une définition possible de borne inférieure sur la courbure de Ricci de la chaîne, à partir de la convexité de l'entropie le long des géodésiques pour la métrique ainsi définie. Dans cet exposé, après avoir expliqué ces notions, je présenterais une nouvelle méthode pour calculer des bornes inférieures sur la courbure de Ricci, qui reprend des idées précédemment développées par Caputo, Dai Pra et Posta dans le cadre des inégalités fonctionnelles. Grâce à cette méthode, on peut étudier le cas des systèmes de particules sur le graphe complet (zero-range et exclusion inhomogène). Ceci est un travail réalisé en collaboration avec Jan Maas.
  • 4 décembre : D. Loukianova (U. Evry) et O. Loukianov (U. Paris Est Creteil).
    Temps d'atteinte et inégalités fonctionnelles.
    Résumé : Nous étudions les relations entre les moments des temps d'atteinte et les inégalités fonctionnelles pour les processus de Hunt symétriques, à l'aide de la mesure spectrale du générateur. Un exemple classique est l'équivalence entre l'existence de moments exponentiels et l'inégalité de Poincaré (trou spectral), mais cette technique s'applique aussi à des moments/inégalités sous-exponentielles, celles de Nash en particulier. Enfin, pour les processus unidimensionnels, nous affinons les bornes classiques de Mukenhoupt pour le trou spectral.
  • 8 janvier : G. Peccati (U. Luxembourg)
    Semigroupe d'Ornstein-Uhlenbeck et stabilisation sur l'espace de Poisson.
    Résumé: Je vais montrer comment étudier des théorèmes limites sur l'espace de Poisson, en utilisant une nouvelle représentation explicite du semigroupe d'Ornstein-Uhlenbeck - proche de celle de Mehler en analyse Gaussienne. Ces résultats sont particulièrement intéressants en géométrie stochastique, et permettent de définir une version très faible de la notion de 'stabilisation'. Une telle notion a été introduite par Penrose et Yukich (2001, 2002) en généralisant des techniques utilisées par Kesten et Lee (1996) dans leur preuve du TCL pour la longueur de l'arbre recouvrant minimal. Je vais aussi montrer comment cette nouvelle représentation du semigroupe d'Ornstein-Uhlenbeck permet de déduire une preuve intrinsèque de l'inégalité de log-Sobolev obtenue par Liming Wu en 2001. Je compte aussi discuter un certain nombre de problèmes ouverts, portant notamment sur des inégalités de concentration et transport, et sur l'optimalité des taux de Berry-Esseen. Cet exposé est basé sur un article co-écrit en 2014 avec G. Last et M. Schulte (Karlsruhe), ainsi que sur un travail en cours avec S. Bachmann (Osnabrück).
  • 5 février : Relâche.
  • 5 mars : N. Gozlan (U. Paris Est)
    Courbure discrete pour des groupes abéliens (d’après Klartag, Kozma, Ralli et Tetali)
    Résumé : L’exposé présentera un article récent de Klartag, Kozma, Ralli et Tetali dans lequel les auteurs étudient les conséquences du critère $\mathrm{CD}(K,\infty)$ usuel (comparant les opérateurs $\Gamma$ et $\Gamma_2$) dans un cadre discret (celui des graphes). Ils montrent en particulier que sous l’hypothèse de courbure positive ou nulle, les constantes de Cheeger $h^2$ et Poincaré $\lambda$ sont comparables à facteurs universels près. La constante de courbure est calculée sur de nombreux exemples explicites (graphe complet, groupe symétrique, sections du cube discret) et les auteurs montrent que tout graphe de Cayley d’un groupe abélien fini est à courbure positive ou nulle.
  • 2 avril : L. Desvillettes (ENS Cachan)
    Production d'entropie du noyau de collision de Landau.
    Résumé: On s'interesse aux estimations de la production d'entropie du noyau de collision de Landau, en particulier dans le cas le plus interessant physiquement: celui de l'interaction Coulombienne. On montre de nouvelles estimations en terme de variantes de l'information de Fisher, et on propose des applications a l'etude de la regularite et du comportement asymptotique de l'equation de Landau spatialement homogène.
  • 7 mai : F. Bolley (U. Paris 6)
    Inégalité de Li-Yau et courbure-dimension.
    Résumé : L’inégalité de Li-Yau est une borne universelle sur le laplacien du logarithme d’une solution positive de l’équation de la chaleur, sur une variété riemannienne de dimension donnée et de courbure de Ricci positive. Cette inégalité a été étendue, sous diverses formes, au cas où la courbure est minorée par une constante non nulle. Elle est un outil efficace pour l’obtention d’inégalités d'Harnack sur la solution. Nous ferons le point sur les résultats classiques sur cette question, et montrerons comment le critère de courbure-dimension de D. Bakry et M. Emery et le calcul Gamma 2 permettent d’obtenir simplement de nouvelles bornes améliorant les bornes classiques. Cet exposé repose sur un travail écrit avec D. Bakry et I. Gentil.
  • 4 juin : R. Chetrite (U. Nice)
    Relations de fluctuation.
    Résumé : Pendant longtemps, la majorité des résultats universelles que nous possédions pour des systèmes d'équilibre modélisé par des processus Markoviens étaient valables au voisinage de la réversibilité. C'est le cas par exemple du théorème de Fluctuation-Dissipation (TFD) démontré sous sa forme moderne par Callen et Welton en 1951, des relations de réciprocité que Onsager énonça en 1930 et des relations de Green-Kubo datant de 1957. Durant la décennie 1990, les physiciens ont commencé à s'intéresser a des extensions de ces résultats dans le cadre de système loin de l'équilibre, par exemple en étudiant la brisure du TFD pour des dynamiques de relaxation de système vitreux. Puis en 1993, Evans, Cohen et Morriss ont découvert lors d'une simulation numérique une symétrie dans la distribution de la création d'entropie d'une particule thermostatée soumis à une force extérieur. Cette découverte entraîna une grande quantité de travaux et de résultats : comme les relation de Gallavotti et Cohen, de Jarzynski, de Crooks. Chacune de ces relations concernant une quantité donnée : la contraction dans l'espace des phases, la production d'entropie, le travail reçue ou la chaleur reçue, dont la définition diffère souvent d'un travail, ou d'un contexte, à l'autre. La disparités des formalismes et des quantités définies fut la source de polémiques et de conflits. Dans mon exposé, je montrerais que tous ces résultats peuvent être unifié et rationalisé dans un cadre probabiliste simple.

Sessions 2013-2014

  • 10 octobre : Séance annulée suite à une grève de transport.
  • 7 novembre : L. Miclo (U. Toulouse 3)
    Sur le spectre et l'hyperbornitude des transitions markoviennes
    Résumé : Dans un cadre de graphes avec poids, Lee, Gharan et Trevisan ont récemment obtenu des inégalités de Cheeger d'ordre supérieur : il s'agit d'estimer la $n$-ième valeur propre du graphe en le découpant en $n$ parties qui ont du mal à communiquer. Nous verrons comment de telles considérations isopérimétriques permettent de prouver une conjecture de H{\o}egh-Krohn et Simon relative des opérateurs de Markov $M$ ergodiques et réversibles par rapport à une probabilité $\mu$ sur un espace mesurable quelconque : si $M$ est de plus supposé borné de $L^2(\mu)$ dans $L^4(\mu)$, alors il admet un trou spectral. Mais sauf dans les situations déjà étudiées par Wang, il n'existe pas de relation quantitative entre cette propriété d'hyperbornitude et le trou spectral et il n'est possible de minorer qu'une autre valeur propre. On présentera également l'extension des inégalités classiques de Cheeger et de Buser dans un cadre riemannien compact et l'application aux comportements des petites valeurs propres des laplaciens de Witten à basse température.
  • 5 décembre : K. Funano (Kyoto University)
    Eigenvalues of Laplacian and Multi-way isoperimetric constants on Riemannian manifolds
    Abstract: In this talk, I will discuss about the distribution of eigenvalues of the weighted Laplacian on closed weighted Riemannian manifolds of nonnegative Bakry-\'Emery Ricci curvature. As an application of the curvature dimension condition, I will derive some universal inequalities among eigenvalues of the weighted Laplacian on such manifolds. These inequalities are quantitative versions of the previous theorem by the author with Shioya. I will also discuss some geometric quantity, called multi-way isoperimetric constants, on such manifolds and obtain similar universal inequalities among them. Multi-way isoperimetric constants are generalizations of the Cheeger constant. I will explain the relation between the k-th eigenvalue and the k-way isoperimetric constant.
  • 9 janvier : A. Guillin (U. Clermont-Ferrand)
    Quelques remarques autour de la condition de courbure dimensionnelle.
    Résumé : Nous aborderons ici le cas de condition de courbure de type Bakry-Emery dimensionnelle de type CD(0,n). Que gagne-t-on avec l'apport de la dimension en terme de convergence vers l'équilibre par exemple? On se focalisera sur la distance de Wasserstein et la chaleur sur R^n pour voir ce que l'on peut espérer, puis en modifiant cette distance pour la rendre plus agréable à manipuler via des conditions de commutation nous verrons comment obtenir un résultat général de convergence différent des récents résultats d'Erbar-Kuwada-Sturm. Nous discuterons bien évidemment des extensions en cours. Travail en commun avec Francois Bolley et Ivan Gentil. Voir aussi la page web d'Ivan Gentil pour une belle version riemanienne.
  • 6 février : P. Cattiaux (U. Toulouse 3)
    Vitesse de stabilisation pour le flipper d'Ornstein-Uhlenbeck.
    Résumé : Imaginons un processus d'Ornstein-Uhlenbeck en dimension d>1, normalement réfléchi lorsqu'il touche des bumpers, càd des obstacles compacts (boules, hypercubes, …) en nombre fini ou infini. Ce processus admet une unique probabilité réversible qui est la mesure gaussienne restreinte à l'extérieur des obstacles. La vitesse de stabilisation est donc controlée à l'aide de la constante de Poincaré de cette mesure. Dans des travaux récents (certains en cours) avec E. Boissard, A. Guillin et L. Miclo, nous avons donné des bornes explicites pour cette constante. La géométrie des obstacles joue un rôle important qu'on mettra en évidence à travers les exemples des boules et des hypercubes. Plusieurs méthodes sont proposées dans le cas d'un obstacle unique ou d'une collection d'obstacles bien organisés. Ce modèle a été imaginé comme “simplification” de celui qui découle de la mise en place d'un algorithme de type Metropolis dans le problème du packing des sphères, où on est également amené à évaluer la constante de Poincaré dans $\mathbb{R}^d$ privé d'un sous ensemble, qui n'est pas cette fois réunion disjointe de compacts. Cet exposé proposera beaucoup plus de questions que de réponses.
  • 6 mars : D. Cordero-Erausquin (U. Paris 6)
    Une inégalité de transport sur la sphère obtenue par transport.
    Résumé : L'étude d'inégalités géométriques ou fonctionnelles (optimales) par transport de mesure en courbure non nulle et dimension finie demeure un territoire mystérieux, ou en tout cas assez vierge. Dans cet exposé nous verrons comment, en utilisant le transport monotone (aka optimal aka de McCann) sur la sphère, ou plus généralement sur une variété compacte à courbure strictement positive, on peut obtenir une inégalité de transport entre une entropie et un coût naturellement liés à la géométrie de la sphère. Nous montrerons que cette inégalité de transport contient, par linéarisation, l'estimée spectrale optimale, c'est-à-dire l'inégalité de Poincaré avec la bonne dépendance en la dimension.
  • 10 avril : Séance annulée
  • 15 mai : Matthieu Fradelizi (U. Paris Est)
    Dimension négative dans les critère de courbure-dimension d’après Ohta et Milman-Kolesnikov.
    Résumé : Dans des prépublications récentes, Ohta (http://arxiv-web3.library.cornell.edu/abs/1310.7993) et Milman-Kolesnikov (http://arxiv.org/abs/1310.2526) ont indépendamment considéré des variétés riemanniennes satisfaisant le critère de courbure dimension avec un terme de « dimension » négatif. Ohta généralise à ce cadre les inégalités de Bochner et de Brunn-Minkowski ainsi que les relations connues entre ce critère, la convexité de l’entropie et l’inégalité d’évolution variationnelle (EVI). Kolesnikov et Milman démontrent des inégalités de type Poincaré amélioré (Brascamp-Lieb) sur des variétés à bord avec conditions de Neumann ou de Dirichlet. En courbure nulle, une mesure vérifie le critère de courbure-dimension si et seulement si c’est une mesure convexe au sens de Borell. Je tenterai de présenter les travaux cités ci-dessus.
  • 5 juin : Emanuel Indrei (Carnegie Mellon University)
    The regularity theory for the free boundary arising in the optimal partial transport problem.
    Abstract: In the optimal partial transport problem, one is interested in transferring a fraction of the mass of one density onto another while minimizing a transportation cost. The free boundary is the object which identifies the region to be transported. In this lecture, we first study the regularity of the free boundary associated to the quadratic cost. Then, we build up a regularity theory for general cost functions. The general principle is that the free boundary is well-behaved away from a potential singular set. We introduce techniques with which to estimate the Hausdorff dimension of the singular set and relate it to classical illumination problems arising in differential geometry.

Sessions 2012-2013

  • 4 octobre : P-M Samson (U. Paris-Est Marne-la-Vallée)
    Déplacement convexe de l'entropie sur un graphe et inégalités fonctionnelles (en collaboration avec N. Gozlan, C. Roberto et P. Tetali)
  • 15 novembre : E. Hillion (Bristol)
    “Convexité” de l'entropie le long de familles de probabiltiés discrètes.”
    La généralisation de la théorie de Sturm-Lott-Villani au cadre des graphes passe par la construction de courbes jouant le même rôle que les géodésiques de Wasserstein dans le cadre continu, et le long desquelles les propriétés de convexité de l'entropie réflètent la géométrie du graphe sous-jacent.
    Durant cet exposé nous développons les points suivants :
    1°) Etant donnés une mesure de probabilité $\mu$ sur un graphe et un certain point $o$ du graphe, appelé origine, nous construisons une famille interpolant $\mu$ et le Dirac en $o$. Nous donnons ensuite des résultats de convexité de l'entropie dans des cas particuliers “canoniques”.
    2°) Dans une deuxième partie, étant données deux mesures de probabilité sur Z, nous construisons une famille interpolant ces deux mesures, satisfaisant une version discrète de l'équation de Benamou-Brenier décrivant les géodésiques de Wasserstein sur R, et le long de laquelle l'entropie est convexe.
    3°) Nous finirons l'exposé en présentant la conjecture dite de Shepp-Olkin, relative à l'entropie des sommes de variables de Bernoulli indépendantes. Nous prouverons cette conjecture dans certains cas particuliers, en utilisant des méthodes introduites dans les deux premières parties.
  • 6 décembre : Ivan Gentil (U. Lyon 1)
    Inégalités de Harnack et transport optimal.
    Nous allons démontrer le théorème de von Renesse-Sturm, celui-ci montre que la distance de Wasserstein contracte le semigroupe de la chaleur si et seulement si la courbure de l'opérateur au sens de Bakry-Emery est positive. La nouvelle preuve de ce résultat est très simple, elle est basée sur la commutation du semigroupe de la chaleur avec le semigroupe d'Hamilton-Jacobi. De façon plus général, nous montrons une inégalité isopérimétrique gaussienne permettant à la fois de montrer une inégalité de Harnack et aussi la propriété de commutation des deux semigroupes. Les résultats présentés proviennent d'un article écrit en collaboration avec D. Bakry et M. Ledoux.
  • 17 janvier : Session annulée.
  • 7 février : Christian Léonard (U. Paris Ouest)
    Entropie minimale et transport optimal sur un graphe.
    Grâce au transport optimal quadratique, la théorie de Lott, Sturm et Villani (LSV) permet, entre autres choses, de généraliser la notion de courbure de Ricci minorée des variétés riemanniennes aux espaces géodésiques. Les graphes n'étant pas géodésiques, il est naturel de modifier la théorie LSV pour obtenir des résultats analogues dans ce nouveau cadre. Parmi les premières questions qui se posent, nous rencontrons:
    1) Comment voir un graphe comme un espace métrique mesuré ?
    2) Quelle notion de géodésique à vitesse constante peut-on définir ?
    3) Quelles sont les règles de calcul des vitesses et des accélérations ?
    4) Comment modifier le carré du champ itéré ?
    Dans cet exposé, nous présenterons quelques résultats qui apportent des réponses, parfois partielles, à ces questions. Notre approche consiste à minimiser l'entropie relative de marches aléatoires paresseuses conditionnées à avoir des distributions initiale et finale fixées. Dans la limite du ralentissement complet, ces problèmes d'entropie minimale convergent vers un problème de transport optimal.
  • 7 mars Philippe CASTILLON (Univ. Montpellier 2)
    Inégalités isopérimétriques et transport optimal.
    Résumé : Les propriétés du transport optimal entre mesures de l'espace euclidien permet de démontrer assez simplement l'inégalité isopérimétrique. L'intérêt de cette preuve pour les géomètres est qu'elle ne fait pas appel à la structure algébrique de l'espace, mais à sa structure métrique et à sa mesure. Dès lors, on peut espérer transposer cette méthode dans un cadre non-euclidien. Je ferai un rapide survol de quelques problèmes isopérimétriques sur les variétés riemanniennes et je montrerai comment ce problème peut être abordé sur les sous-variétés de l'espace euclidien en utilisant le transport optimal.
  • 4 avril Constantin Vernicos (Univ. Montpellier 2)
    Une surface compacte et convexe qui n'admet pas de minoration de sa courbure de Ricci synthétique.
    Résumé : L'existence d'une minoration de la courbure de Ricci synthétique, autrement dit l'existence d'une inégalité de courbure dimension CD(K,N), entraine l'existence d'une inégalité de Brunn-Minkowski ad-hoc. L'étude des réflexions dans un espace normé et des changements de média ou indice dans le cadre des espaces vectoriel normés nous mènera vers la présentation d'une surface compacte et convexe de R^3 normé, qui ne satisfait aucune inégalité de Brunn-Minkowski et qui ne peut donc admettre de minoration de sa courbure de Ricci synthétique.
  • 16 mai Jérôme Bertrand (Université Paul Sabatier)
    Prescription de la courbure de Gauss par transport optimal.
    Résumé: Dans la première partie de l'exposé, je présenterai une nouvelle preuve d'un résultat d'Alexandrov sur la prescription de la courbure de Gauss généralisée d'un convexe euclidien. Cette preuve est principalement basée sur la théorie du transport optimal de mesures. Ensuite, j'expliquerai comment cette méthode peut être appliquée en genre supérieur.
  • 6 juin Matthias Erbar (Université de Bonn)
    On the equivalence of Bochner's inequality and the entropic curvature-dimension condition.
    Abstract: Bochner's inequality is one of the most fundamental estimates in geometric analysis on Riemannian manifolds. It states that \[\frac12\Delta|\nabla u|^2-\langle\nabla u, \nabla\Delta u\rangle\ge K \cdot |\nabla u|^2+\frac1N \cdot |\Delta u|^2\]for each smooth function $u$ on a Riemannian manifold provided K is a lower bound for the Ricci curvature on and N is an upper bound for the dimension. The main result we present in this talk is a Bochner inequality on metric measure spaces with linear heat flow and satisfying the (reduced) curvature-dimension condition. Indeed, we will also prove the converse: if the heat flow on a metric measure space is linear then an appropriate version of the Bochner inequality (for the canonical gradient and Laplacian) will imply the reduced curvature-dimension condition. Besides that, we also derive new, sharp Wasserstein-contraction results for the heat flow as well as Bakry-Ledoux type gradient estimates and prove that each of them is equivalent to the curvature-dimension condition.

Sessions 2011-2012

  • 6 octobre : C. Léonard
    Approche par le transport optimal de quelques inégalités géométriques et premiers pas en géométrie des espaces métriques
    Cette séance sera une introduction à l'approche par le transport optimal de quelques inégalités à teneur géométrique et d'une notion de courbure dans un espace métrique. Nous présenterons des résultats bien connus depuis quelques années dans le but d'illustrer son efficacité. Nous réserverons la dernière partie de la séance à une discussion sur le programme à venir du groupe de travail.
    Notes de l'exposé en PDF
  • 3 novembre N. Gozlan
    Transport optimal sur les variétés Riemanniennes
    L'objectif de la séance est de démontrer le théorème de Mc Cann caractérisant le transport optimal quadratique sur une variété Riemannienne. Ce résultat généralise le théorème de Brenier à des espaces courbés. Nous verrons également que ce transport optimal peut être utilisé pour généraliser l'inégalité de Prekopa-Leindler à des variétés (travaux de Cordero-Erausquin-Mc Cann-Schmuckenschläger).
    Notes de l'exposé en PDF
  • 8 décembre C. Léonard et J. Roth
    Théorème de factorisation de Brenier et introduction à la courbure
    Cette séance commencera par un exposé de Christian Léonard sur le théorème de factorisation polaire de Brenier.
    La deuxième partie de la séance sera consacrée à un exposé de Julien Roth : L'objectif de ce deuxième exposé est de définir les notions de courbure sectionnelle et courbure de Ricci d'une variété riemannienne. Nous motiverons cet exposé par des théorèmes de comparaison à courbure de Ricci minorée (Bonnet-Myers, Bishop-Gromov, Lichnerowicz). Nous introduirons les outils nécessaires à leur démonstration (champs de Jacobi, formules de variation de l'énergie des géodésiques, formule de Böchner).
  • 5 janvier J. Roth
    Suite de l'exposé précédent.
  • 2 février I. Gentil
    Inégalités de Courbure-dimension, lien avec la courbure de Ricci et applications.
    Le but de cet exposé est double. D'une part on va essayer de faire le lien entre les inégalités de courbure dimension (critère CD(rho,n) associé au critère Gamma_2) et la courbure de Ricci dans une variété de dimension n. D'autre part nous allons décrire deux applications fondamentales de l'inégalité de courbure dimension à l'analyse : la régularité de l'équation de la chaleur et l'inégalité de Harnack.
  • 8 mars J. Maas(Bonn Universität)
    Gradient flows and Ricci curvature for finite Markov chains.
    Since the seminal work of Jordan, Kinderlehrer and Otto, it is known that the heat flow on $R^n$ can be regarded as the gradient flow of the entropy in the Wasserstein space of probability measures. Meanwhile this interpretation has been extended to very general classes of metric measure spaces, but it seems to break down if the underlying space is discrete.\\In this talk we shall present a new metric on the space of probability measures on a discrete space, based on a discrete Benamou-Brenier formula. This metric defines a Riemannian structure on the space of probability measures and it allows to prove a discrete version of the JKO-theorem. This naturally leads to a notion of Ricci curvature based on convexity of the entropy in the spirit of Lott-Sturm-Villani. We shall discuss how this is related to functional inequalities and present discrete analogues of results from Bakry-Emery and Otto-Villani.
    This is partly joint work with Matthias Erbar (Bonn).
  • 5 avril P. Romon
    Courbure de Ricci en géométrie discrète, d'après Yann Ollivier.
    Résumé: Je (ré-)expliquerai comment Yann Ollivier définit une courbure de Ricci dite grossière et son lien avec la courbure de Ricci différentielle continue, et comment on la calcule dans le cas discret, par exemple les graphes. On verra ensuite quelques propriétés ainsi que des propositions alternatives faites par Lin & Yau à ce sujet, ainsi que d'autres notions existant sur les structures discrètes.
  • 3 mai J. Roth
    Formule de Bochner et applications.
    Résumé: Dans cet exposé, je démontrerai la formule de Bochner et je donnerai quelques applications en courbure de Ricci minorée (théorème de Bishop-Gromov et théorème de Lichnerowicz).
  • 7 juin
worksemihp.txt · Last modified: 2017/12/12 09:39 by FRADELIZI Matthieu
 
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