Programme des Journées du GDR "Analyse Fonctionnelle, Harmonique et Probabilités" 2012

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Lundi 29 octobre 2012
  • 13h00-13h25 : Accueil
  • 13h30-14h20 : C. Badea (Université Lille 1) : La dynamique des opérateurs et ses applications
  • 14h30-14h55 : V. Nestoridis (University of Athens) : Approximation sphérique
  • 15h00-15h25 : C. Arhancet (Université de Franche-Comté) : Inconditionnalité, multiplicateurs de Fourier et multiplicateurs de Schur
  • 15h30 : café
  • 16h00-16h50 : S. Petermichl (Université Toulouse 3) : Commutateurs à plusieurs paramètres et BMO-produit
  • 17h00-17h25 : J.-M. Augé (Université Bordeaux 1) : Une application du module asymptotique de lissité en théorie des opérateurs
  • 17h30-17h55 : H. Gaaya (Université Lyon 1) : Sur le rayon $\rho$-numérique du shift $n$-dimensionnel
Mardi 30 octobre 2012
  • 09h00-09h50 : A. Guillin (Université Blaise Pascal Clermont-Ferrand II) : Inégalité de Poincaré : une approche probabiliste
  • 10h00-10h25 : F. Gaunard (KTH Stockholm) : Plongements de type Carleson dans les espaces modèles et ensembles dominants
  • 10h30 : café
  • 11h00-11h25 : M. Perrin (ICMAT - Madrid) : Hypercontractivité pour des produits libres
  • 11h30-11h55 : P. Maheux (Université d'Orléans) : Inégalités de type Nash et de super Poincaré pour les semi-groupes subordonnés
  • 12h00-12h25 : Q. Menet (Université de Mons) : Sous-espaces hypercycliques dans les espaces de Fréchet
  • 12h30 : déjeuner
  • 14h00-14h50 : A. Poltoratski (Texas A&M University) : Spectral gaps and oscillations
  • 15h00-15h25 : L. Deléaval (Université Paris-Est Marne-la-Vallée) : Formule produit pour certaines classes de fonctions hypergéométriques à arguments matriciels
  • 15h30 : café
  • 16h00-16h50 : A. Borichev (Aix-Marseille Université) : Deux problèmes de complétude dans l'espace de Paley-Wiener
  • 17h00-17h25 : H. Klaja (Université Lille 1) : Image numérique de projections orthogonales
  • 17h30-17h55 : B. Haak (Université Bordeaux 1) : Estimations de fonctions carrées et calcul fonctionnel
Mercredi 31 octobre 2012
  • 09h00-09h50 : A. Naor (Courant Institute of New York University) : Ultrametric skeletons
  • 10h00-10h25 : F. Baudier (Texas A&M University) : Aspect quantitatif des plongements non-linéaires dans les espaces de suites classiques
  • 10h30 : café
  • 11h00-11h25 : S. Charpentier (Aix-Marseille Université) : Sur un théorème de Hopf-Dunford-Schwartz vectoriel
  • 11h30-11h55 : P. Youssef (Université Paris-Est Marne-la-Vallée) : Distance de Banach-Mazur au Cube
  • 12h00-12h25 : X. Xiong (Université de Franche-Comté) : Sobolev spaces on quantum tori
  • 12h30 : déjeuner
  • 14h00-14h50 : G. David (Université Paris 11) : Pourquoi encore résoudre le problème de Plateau ?
  • 15h00-15h25 : R. Zarouf (Aix-Marseille Université) : Inégalités pour les dérivées de fonctions rationnelles dans des espaces classiques et applications
  • 15h30-15h55 : M. Caspers (Université de Franche-Comté) : The best constants for operator Lipschitz functions on Schatten classes
  • 16h00 : café

Résumés

Exposés longs

Catalin Badea, Université Lille 1

Titre : La dynamique des opérateurs et ses applications

Résumé : Le but de l'exposé est de présenter plusieurs propriétés des itérés d'un opérateur linéaire et continu sur un espace de Hilbert et les applications possibles concernant les sous-ensembles des entiers. On discutera notamment des ensembles corrélatifs (ou de van der Corput) et des ensembles de récurrence (ou de Poincaré).

Alexander Borichev, Aix-Marseille Université

Titre : Deux problèmes de complétude dans l'espace de Paley-Wiener

Résumé : Nous présenterons deux problèmes de complétude reliés aux systèmes d'exponentielles dans l'espace de Paley-Wiener. Le premier problème est celui de la synthèse spectrale (complétude héréditaire), posé dans les années 1960s. Le second est motivé par une question récente de M.Carlsson et C.Sundberg sur les translations restreintes. L'exposé est basé sur un travail commun avec A.Baranov et Yu.Belov.

Guy David, Université Paris 11

Titre : Pourquoi encore résoudre le problème de Plateau ?

Résumé : Le problème de Plateau a donné lieu à de nombreux résultats très intéressants de théorie géométrique de la mesure, mais n'est encore que partiellement résolu. On essaiera de parler rapidement des divers problèmes de Plateau qui ont été résolus, et de justifier l'étude d'un problème de régularité des ensembles minimaux près d'une frontière.

Arnaud Guillin, Université Blaise Pascal Clermont-Ferrand II

Titre : Inégalité de Poincaré : une approche probabiliste

Résumé : Après avoir rappelé les propriétés fondamentales des inégalités de Poincaré, nous introduirons une méthode récente basée sur les conditions de Lyapunov issues des méthodes probabilistes pour la convergence à l'équilibre de Processus de Markov. Cela permettra de retrouver et d'étendre les conditions usuelles pour les inégalités de Poincaré. Nous discuterons également de l'application de ce type de méthode pour établir des formules de type Eyring-Kramers ou pour des “flippers Gaussiens”.

Assaf Naor, Courant Institute of New York University

Titre : Ultrametric skeletons

Résumé : Let $(X,d)$ be a compact metric space, and let $\mu$ be a Borel probability measure on $X$. We will show that any such metric measure space $(X,d,\mu)$ admits an “ultrametric skeleton”: a compact subset $S$ of $X$ on which the metric inherited from $X$ is approximately an ultrametric, equipped with a probability measure $\nu$ supported on $S$ such that the metric measure space $(S,d,\nu)$ mimics useful geometric properties of the initial space $(X,d,\mu)$. We will make this geometric picture precise, and explain a variety of applications of ultrametric skeletons in analysis, geometry, computer science, and probability theory. Joint work with Manor Mendel.

Stéfanie Petermichl, Université Toulouse 3

Titre : Commutateurs à plusieurs paramètres et BMO-produit

Résumé : Nous revisitons une caractérisation de l'espace BMO-produit réel via la continuité des commutateurs itérés d'un opérateur de multiplication avec des transformations de Riesz, pour obtenir une application aux lemmes divergence-rotationnel.

Alexei Poltoratski, Texas A&M University

Titre : Spectral gaps and oscillations

Résumé : How to estimate the size of a gap in the Fourier spectrum of a measure (function, distribution)? How fast should a function with a spectral gap osscillate near infinity? A number of classical problems of Harmonic Analysis, posted by Beurling, Kolmogorov, Krein, Wiener and others can be reformulated in these terms. In my talk I will discuss several of such problems along with their recent solutions.

Exposés courts

Cédric Arhancet, Université de Franche-Comté

Titre : Inconditionnalité, multiplicateurs de Fourier et multiplicateurs de Schur

Résumé : On examine des problèmes liés aux multiplicateurs de Fourier dans le cadre des groupes localement compacts abéliens et des espaces $L^p$ associés. Si $X$ est un espace de Banach et si $G$ est infini, on montre en particulier que si chaque multiplicateur de Fourier borné $T$ on $L^2(G)$ a la propriété que $T\otimes Id_X$ est borné sur l'espace de Bochner $L^2(G,X)$ alors $X$ est isomorphe à un espace de Hilbert.

Jean-Matthieu Augé, Université Bordeaux 1

Titre : Une application du module asymptotique de lissité en théorie des opérateurs

Résumé : On explique comment intervient le module asymptotique de lissité dans la construction d'orbites régulières pour un opérateur borné $T$ sur un Banach $X$, généralisant ainsi un résultat de V. Muller.

Florent Baudier, Texas A&M University

Titre : Aspect quantitatif des plongements non-linéaires dans les espaces de suites classiques

Résumé : Au cours de cet exposé nous traitons de la théorie quantitative des plongements grossiers et des plongements simultanément grossier et uniforme, de certaines classes d'espaces métriques, dans les espaces de suite, typiquement $\ell_q(\Gamma)$ avec $0<q<\infty$. Les espaces métriques considérés sont les espaces métriques de type Lipschitz-negatif, les espaces $\ell_p$ $0<p<\infty$, et les espaces métriques avec la propriété A de Yu (en particulier les groupes moyennables).

Martijn Caspers, Université de Franche-Comté

Titre : The best constants for operator Lipschitz functions on Schatten classes

Résumé : It was proved by D. Potapov and F. Sukochev that a Lipschitz function $f$ on the reals satisfies an operator Lipschitz inequality in Schatten classes $S_p$ for $1<p<\infty$. That is, if $A$ and $B$ are in $S_p$, then $f(A) - f(B)$ will be in $S_p$ and its norm can be estimated by a constant $C_p$ times the norm of $A-B$. This statement is known to be false in the cases $p=1$ and $p=\infty$. Our main result is a sharp bound for the asymptotic behavior of $C_p$ as $p$ approaches either 1 or infinity. The result translates in non-commutative inequalities for commutator estimates. The proof relies on a careful analysis of vector valued Fourier multipliers. The talk is based on a joint work with S. Montgomery-Smith, D. Potapov, F. Sukochev.

Stéphane Charpentier, Aix-Marseille Université

Titre : Sur un théorème de Hopf-Dunford-Schwartz vectoriel

Résumé : Soit $T=\left(T_{t}\right)_{t}$ un semi-groupe fortement mesurable sur $L^{p}\left(\Omega,m\right)$, $1\leq p\leq\infty$ ($m$ une mesure positive) tel que chaque opérateur $T_{t}$ est contractant de $L^p\left(\Omega,m\right)$ dans lui-même pour tout $1\leq p\leq\infty$. Le théorème de Hopf-Dunford-Schwartz assure que l'opérateur maximal défini par \[ M_{T}f(x):=\sup_{\alpha\geq0}\frac{1}{\alpha}\left|\int_{0}^{\alpha}T_{t}(f)(x)dt\right|\] envoie $L^{1}\left(\Omega,m\right)$ dans $L^{1,\infty}\left(\Omega,m\right)$ et $L^{p}\left(\Omega,m\right)$ dans lui-même, pour $1<p<\infty$. Après une brève exposition de ce résultat, nous présenterons une possible extension de celui-ci à un cadre vectoriel en considérant, à la place de $M_{T}$, l'\emph{opérateur maximal vectoriel} $\overline{M_{T}}:=\left(M_{T},\ldots,M_{T}\right)$ défini sur $L^{p}\left(\Omega,l^{q}\right)$. Nous conjecturerons que $\overline{M_{T}}$ envoie $L^{1}\left(\Omega,l^{q}\right)$ dans $L^{1,\infty}\left(\Omega,l^{q}\right)$ et $L^{p}\left(\Omega,l^{q}\right)$ dans lui-même pour des valeurs de $p$ et $q$, $1\leq p,q\leq\infty$, convenables; conjecture à laquelle nous donnerons une réponse partielle, positive, pour $1<p\leq q<\infty$. C'est un travail en commun avec Luc Deléaval.

Luc Deléaval, Université Paris-Est Marne-la-Vallée

Titre : Formule produit pour certaines classes de fonctions hypergéométriques à arguments matriciels

Résumé : Dans cet exposé nous prouverons, par une méthode probabiliste, une formule produit pour la fonction hypergéométrique de type Bessel à deux arguments matriciels et nous ferons le lien entre cette formule produit et une conjecture de Rösler sur la fonction de Bessel généralisée associée à des chambres de Weyl. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Nizar Demni.

Haykel Gaaya, Université Lyon 1

Titre : Sur le rayon $\rho$-numérique du shift $n$-dimensionnel

Résumé : En 1966, Sz-Nagy et Foias ont introduit la notion de $\rho$-dilatation unitaire et les classes $C_{\rho}$ (ensemble des opérateurs de $B(H)$ qui admettent une $\rho$-dilatation unitaire). Ces notions ont ensuite débouché sur le rayon $\rho$-numérique $w_{\rho}(.)$ (rayon opératoriel associé aux classes $C_{\rho}$). Une des propriétés fondamentales de ces classes, qui en a assuré le succès, est que la famille de rayon opératoriels $w_{\rho}(.), \rho>0$, englobe des objets que tout le monde manipule. En effet, on retrouve la norme de $B(H)$ pour $\rho = 1$, le rayon numérique classique pour $\rho= 2$ et le rayon spectral pour $\rho \rightarrow \infty$. Ces objets sont basés sur la $\rho$-dilatation unitaire, et sont donc typiquement hilbertiens. Dans un premier temps, on s'intéressera aux propriétés du rayon $\rho$-numérique dans les espaces de Hilbert et ensuite on donnera une expression explicite de $w_{\rho}(S_{n})$.

Frédéric Gaunard, KTH Stockholm

Titre : Plongements de type Carleson dans les espaces modèles et ensembles dominants

Résumé : Un célèbre théorème de L. Carleson donne une caractérisation des mesures boréliennes finies positives $\mu$ sur le disque unité (fermé) pour lesquelles l'espace de Hardy $H^2$ se plonge continûment dans $L^2(\mu)$. Ce type de plongement a également été étudié dans les espaces modèles par Aleksandrov, Baranov, Cohn, Treil, Volberg… Dans un article récent Lefèvre, Li, Queffelec et Rodriguez-Piazza établissent, dans le cadre de l'espace de Hardy, le caractère nécessaire et suffisant d'une condition géometrique de Carleson inverse pour que le plongement soit injectif à image fermée. Ce travail s'intéresse à ce type de plongements dans les espaces modèles, en faisant intervenir la notion d'ensembles dominants. Travail commun avec A. Blandignères, E. Fricain, A. Hartmann et W. Ross.

Bernhard Haak, Université Bordeaux 1

Titre : Estimations de fonctions carrées et calcul fonctionnel

Résumé : On discute le lien entre les estimations de fonction carrée et le calcul fonctionnel $H^\infty$. On introduit le concept d'ensembles $\ell_1$–bornés dans un espace de Hilbert et montre que toutes les estimations de fonction carrée associées au calcul fonctionnel qui sont connues dans littérature s'expliquent par cette approche.

Hubert Klaja, Université Lille 1

Titre : Image numérique de projections orthogonales

Résumé : L'image numérique d'un opérateur $T$ agissant sur un espace de Hilbert est définie par $W(T)= \lbrace \langle Th, h\rangle| \,\,h\in H, \|h\|=1 \rbrace $. Connaître l'image numérique d'un produit de deux ou plusieurs projections orthogonales a de nombreuses applications, par exemple en analyse harmonique (paires annihilantes, principe d’incertitude), en théorie d'approximation (vitesse de convergence de l'algorithme de von Neumann-Halperin) ou dans la preuve d'une conjecture de Burkholder (convergence presque sure d’un produit d’espérances conditionnelles). Dans cet exposé, on discutera une formule explicite de la fermeture de l'image numérique d’un produit de projections orthogonales, et on s'intéressera aussi à quelques applications.

Patrick Maheux, Université d'Orléans

Titre : Inégalités de type Nash et de super Poincaré pour les semi-groupes subordonnés

Résumé: On démontre que si une inégalité de super-Poincaré est vérifiée par un générateur infinitésimal $-A$ d'un semi-groupe symétrique de contraction sur $L^2$ et contractant sur $L^1$ alors, pour toute fonction de Bernstein $g$, le générateur infinitésimal $-g(A)$ satisfait aussi une inégalité de super-Poincaré. On obtient des résultats analogues avec les inégalités de type Nash On démontre aussi des énoncés réciproques. Nos résultats s'appliquent en particulier aux puissances fractionnaires de $A$ et à $log(I+A)$. On montrera nos résultats sur des exemples de générateurs. En collaboration avec Ivan Gentil (Lyon)

Quentin Menet, Université de Mons

Titre : Sous-espaces hypercycliques dans les espaces de Fréchet

Résumé : Les principaux résultats autour des sous-espaces hypercycliques concernent soit les espaces de Fréchet avec une norme continue, soit l'espace $\omega$. Nous comblons le trou entre ces espaces en investiguant de manière générale le cas des espaces de Fréchet sans norme continue.

Vassili Nestoridis, University of Athens

Titre : Approximation sphérique

Résumé : En approximation complexe, les principaux théorèmes sont ceux de Runge, Mergelyan et Arakelyan, où l'approximation est uniforme par rapport à la métrique Euclidienne du plan complexe $\mathbb{C}$. Pour traiter également le cas des fonctions prenant la valeur infinie, nous sommes naturellement amenés à remplacer la métrique Euclidienne sur $\mathbb{C}$ par la métrique chordale sur la sphère de Riemann $\mathbb{C} \cup \infty$ et à examiner la forme nouvelle que prennent les théorèmes précédents en approximation sphérique. Les problèmes généraux sont ouverts, mais nous avons des résultats partiels dans le cas du disque, des domaines de Jordan et des régions bornées par un nombre fini de courbes de Jordan disjointes. Parallélement, se pose aussi une question, ouverte, reliant la métrique chordale aux séries de Taylor universelles au sense de Luh et Chui-Parnes. De plus, l'approximation sphérique est également utilisée dans la théorie récente des approximants universels de Padé. Enfin, les questions précédentes peuvent être reexaminées si la sphère de Riemann est remplacée par n'importe quelle autre compactification métrisable du plan.

Mathilde Perrin, ICMAT - Madrid

Titre : Hypercontractivité pour des produits libres

Résumé : Après une brève introduction historique sur l'hypercontractivité, étroitement liée aux inégalités de Sobolev logarithmiques, nous nous intéresserons au cas des produits libres. Dans un premier temps, on considère le cas gaussien et l'analogue non commutatif des inégalités de Nelson. En suivant l'approche probabilistique développée par Biane, nous étudierons l'hypercontractivité du produit libre de semigroupes d'Ornstein-Ulhenbeck sur des algèbres de Clifford. Dans la seconde partie de l'exposé, nous nous intéresserons au cas trigonométrique, et étudierons une version “produit libre” du théorème de Bonami-Beckner. Plus précisément, nous discuterons l'hypercontractivité du semigroupe de Poisson libre sur les algèbres de von Neumann engendrée par $\mathbb{Z}_2\ast\cdots \ast \mathbb{Z}_2$ et $\mathbb{F}_n$ respectivement, en utilisant deux méthodes complémentaires (probabilistique et combinatoire). Travail en collaboration avec Marius Junge, Carlos Palazuelos, Javier Parcet et Eric Ricard.

Xiao Xiong, Université de Franche-Comté

Titre : Sobolev spaces on quantum tori

Résumé : We prove the Sobolev embedding theorem on quantum tori. Assume that $s-d/p=s_1-d/p_1,$ then we have: $$H^s_p(\mathbb{T}_{\theta}^d)\subset H^{s_1}_{p_1}(\mathbb{T}^d_{\theta}), \;\;\; 1\leq p\leq p_1 <\infty, s,s_1\in \mathbb{R}.$$ And as a result the compact embedding theorem follows if we decrease a little the index $p_1$: The embedding $H^s_p(\mathbb{T}_{\theta}^d) \hookrightarrow H^{s_1}_{p^*}(\mathbb{T}_{\theta}^d)$ is compact for $s>s_1\geq0$ and $1\leq p^* <p_1,$ where $s-d/p=s_1-d/p_1$. In this context we divide the proof of the embedding theorem into two parts: we use the interpolation method to prove the case $1 <p\leq p_1 <\infty$; for the case $p=1$, as the interpolation method fails, we should take some other special path. This talk is based on joint work with Zhi Yin.

Pierre Youssef, Université Paris-Est Marne-la-Vallée

Titre : Distance de Banach-Mazur au Cube

Résumé : On note $\mathbb{B}_n:=\{ \text{$X$ espace de Banach de dimension $n$}\}$. Pour $X, Y\in \mathbb{B}_n$, on définit la distance de Banach-Mazur entre $X$ et $Y$ par $$d(X,Y)= {\inf} \{ \Vert T\Vert \cdot \Vert T^{-1}\Vert \mid \ T \text{ est un isomorphisme entre X et Y }\}$$ Un théorème célèbre de John permet de montrer que pour tout $X\in\mathbb{B}_n$, on a $d(X,l_2^n)\leqslant \sqrt{n}$. En notant $R_2^n= \max \{d(X,l_2^n)/\ X\in\mathbb{B}\}$, le résultat de John implique que $R_2^n = \sqrt{n}$. Un problème intéressant serait d'étudier ce qui se passe en remplaçant $l_2^n$ par un autre espace $l_p$, en particulier par le cube $l_\infty^n$. Cette question a d'abord été étudiée par Bourgain-Szarek puis Szarek-Talagrand qui ont donné des majorations de $R_\infty^n$ durant la fin des années 80. Par un résultat de Szarek, on sait que $R_\infty^n\geqslant c\sqrt{n} \log (n)$. Finalement, Giannopoulos a amélioré les arguments de Szarek-Talagrand pour montrer que $R_\infty^n \leqslant cn^{\frac{5}{6}}$. La constante $c$ étant de l'ordre de $3$. En utilisant une approche plus élémentaire, on montre que $R_\infty^n\leqslant (2n)^{\frac{5}{6}}$. Ceci redonne le même comportement asymptotique que le résultat de Giannopoulos et améliore les estimations pour les petites dimensions.

Rachid Zarouf, Aix-Marseille Université

Titre : Inégalités pour les dérivées de fonctions rationnelles dans des espaces classiques et applications

Résumé : Etant donné $n\geq1$ et $r\in[0,\,1),$ nous considérons l'ensemble $\mathcal{R}_{n,\, r}$ des fonctions rationnelles ayant au plus $n$ pôles, tous à l'extérieur de $\frac{1}{r}\mathbb{D},$ où $\mathbb{D}$ est le disque unité du plan complexe. On pose $\mathcal{R}_{n}=\cup_{0\le r<1}\mathcal{R}_{n,\, r}$. Les inégalités pour les dérivées de fonctions de $\mathcal{R}_{n}$ on été étudiées par plusieurs chercheurs (depuis 1963), et ce dans différents espaces de fonctions (Hardy, Bergman, Besov). Nous commencerons par expliquer la raison pour laquelle la dépendance en le paramètre $r$ apparaît ici de manière naturelle, en revenant sur un problème énoncé par George Lorentz en 1988. Puis, en guise d'illustration, nous donnerons une inégalité de type Bernstein pour les fonctions de $\mathcal{R}_{n,\, r},$ dont nous montrerons qu'elle est asymptotiquement exacte (lorsque $n\rightarrow\infty$ and $r\rightarrow1^{-}$), dans les espaces de Bergman à poids à décroissances polynomiales. Il s'agira là d'une extension d'un résultat de K. Dyakonov, ce dernier ayant étudié de telles inégalités dans les espaces de Hardy classiques. Nous montrerons aussi que ce résultat ne peut être étendu aux espaces de Bergman à poids à décroissance super-polynomiale. Nous mentionnerons le fait d'avoir obtenu récemment une preuve nouvelle du lemme de M. N. Spijker, différente de celle obtenue par ce dernier en 1991, ainsi qu'une extension des inégalités $L^{p}-L^{q}$ dues à S. M. Nikol'skii (1951) pour les polynômes, à la classe des fonctions rationnelles appartenant à $\mathcal{R}_{n,\, r}$. Enfin, nous donnerons des possibles applications de telles inégalités aux domaines suivants de l'analyse : approximation rationnelle, analyse matricielle, interpolation effective. Cet exposé s'appuie sur un travail commun effectué en collaboration avec Anton Baranov.

programme_afhp2012.txt · Dernière modification: 2012/11/26 23:33 (modification externe)
 
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