Ce groupe de travail vise à rassembler EDPistes et probabilistes autour des processus de Markov déterministes par morceaux/équations de croissance - fragmentation / équations cinétiques de type “run-and-tumble” ou switching…
Chaque journée sera composée de deux exposés (10h30-12h ; 13h30-15h).
Lieu : Jussieu, salle Paul Lévy, couloir 16-26, premier étage
10h30→12h00 : Florent Malrieu
Ce premier exposé consistera en une présentation générale des questions que se posent les probabilistes dans différents modèles de PDMP (croissance/fragmentation et flots modulés essentiellement) en faisant le lien avec les EDP mises en jeu.
13h30→15h00 : Pierre Gabriel
Cet exposé introduira plus précisément les équations de croissance-fragmentation : vitesse de croissance de la population et profil asymptotique dans un premier temps puis vitesse de convergence vers le profil stationnaire et les espaces fonctionnels correspondants.
Lieu : Jussieu, salle Paul Lévy, couloir 16-26, premier étage
10h30→12h00 : Jean-Baptiste Bardet. Vitesses de convergence : méthodes de couplage
Je présenterai sur des exemples de processus de Markov déterministes par morceaux les méthodes de couplage, qui sont des méthodes intrinsèquement probabilistes pour obtenir des bornes sur la vitesse de convergence à l'équilibre de processus de Markov ergodiques (ou des EDP associées). Dans certains cas, ces méthodes permettent d'obtenir des bornes explicites (mais généralement non optimales).
13h30→15h00 : Delphine Salort. Équations de fragmentation en neurosciences : convergence asymptotique et solutions périodiques
Dans le cadre de cet exposé, nous présenterons un modèle structuré avec fragmentation issu des neurosciences. Nous exposerons certaines méthodes qui permettent de montrer la convergence de la solution vers un état stationnaire. Dans certains cas particuliers, nous expliquerons comment obtenir des solutions périodiques explicites qui mettent en évidence des phénomènes de synchronisation dans le réseau de neurones considéré.
Ces travaux sont issus de collaborations avec K. Pakdaman et B. Perthame.
Lieu : Jussieu, salle de séminaire (201) couloir 15-16 (changement de salle par rapport aux deux premières séances)
10h30→12h00 : Florent Malrieu. Encore du couplage !
Ce exposé sera encore consacré à des méthodes probabilistes de couplage pour le comportement en temps long. Je présenterai quelques exemples particuliers puis j'expliquerai l'approche générale via les fonctions de Lyapunov à la Meyn-Tweedie.
13h30→15h00 : Étienne Bernard. Introduction à la théorie des semi-groupes positifs et applications aux EDP
Dans un premier temps, j'introduirai deux EDP, celle de Coagulation-Fragmentation, et celle de Boltzmann Linéaire. Un des problèmes autour de ces EDP est l'estimation du comportement asymptotique (existence de la solution d'équilibre et vitesse de convergence) en fonction des paramètres en jeu. Ces EDP ont en commun de conserver la positivité des solutions. Cette observation, triviale à première vue, nous permettra d'avoir une connaissance précise sur le comportement asymptotique en fonction des paramètres. Après avoir donné les principaux théorèmes, nous introduirons à la théorie des semi-groupes positifs et nous montrerons comment cette théorie nous permet de mieux comprendre le rôle de certains paramètres dans le comportement asymptotique des solutions.
Lieu : Jussieu, salle de séminaire (201) couloir 15-16 (changement de salle par rapport aux deux premières séances)
10h30→12h00 : Nathalie Krell. Many-to-one formula
Je vais vous parler de la many-to-one formula. C'est un outil puissant qui permet de transformer l'étude de processus à valeurs dans R^N en celle de processus à valeurs dans R. Je vous montrerai l’intérêt de cette méthode à travers l'exemple de l'étude de la croissance des bactéries. Ainsi l'étude de la croissance des bactéries est reliée à celle d'un PDMP. On verra aussi comment la many-to-one formula permet de faire le lien entre les études microscopique des bactéries (modélisation probabiliste de chaque bactérie) et macroscopique (EDP).
13h30→15h00 : Pierre Monmarché. Inégalités fonctionnelles pour des PDMP
On verra comment des méthodes d'inégalités fonctionnelles permettent de quantifier la convergence à l'équilibre pour certains PDMP, puis une façon de démontrer des inégalités de type Poincaré pour les mesures invariantes en exploitant le caractère hybride temps continu/temps discret de la dynamique.
Lieu : Jussieu, salle de séminaire (201) couloir 15-16 (changement de salle par rapport aux deux premières séances)
10h30→12h00 : Pierre-André Zitt. PDMP et échantillonnage
Pour échantillonner une mesure de probabilité “cible”, l'algorithme de Metropolis Hastings consiste à construire une chaîne de Markov qui admet la mesure “cible” comme mesure invariante. Cette construction conduit à des processus ayant un comportement de type diffusif, qui ne convergent que relativement lentement vers l'équilibre. Pour accélérer la méthode, on peut dans certains cas considérer des chaînes “relevées” sur un espace plus grand, en ajoutant une composante de “vitesse” au processus. Nous présenterons un travail récent de Bierkens et Roberts illustrant cette approche sur un modèle classique de physique statistique, le modèle de Curie-Weiss.
13h30→15h00 : Gaël Raoul. Agrégation de Escherichia Coli par sauts de vitesse biaisés
Nous considérerons une population de bactéries structurée par une variable d'espace x et une variable de vitesse v. On suppose que les bactéries gardent une vitesse constante durant un intervalle de temps aléatoire (phase de “run”), puis changent de vitesse instantanément (phase de “tumbling”), ce que l'on modélise par un opérateur de saut en vitesse. On suppose enfin qu'il existe un confinement obtenu par une probabilité d'entrer en phase de “tumbling” plus importante lorsque la bactérie s'éloigne de l'origine (x=0). Nous montrerons l'existence d'un état stationnaire pour ce modèle, puis décrirons comment obtenir la stabilité asymptotique de cet état stationnaire.
Lieu : Jussieu, salle Paul Lévy, couloir 16-26, premier étage
10h30→12h00 : Gabriel Lagasquie. Étude du comportement en temps long de processus commutés
Nous considérons des processus solutions d'équations différentielles linéaires commutées dont les temps de commutations sont donnés par une fonction de contrôle déterministe ou aléatoire. Nous discuterons du comportement en temps long de ce processus commuté dans le cas où les EDO sont stables. Pour finir, nous donnerons un lien entre comportement en temps long du processus commuté déterministe et la mesure invariante du processus aléatoire dans le cas où les EDO sont décentrées.
13h30→15h00 : Guilherme Mazanti. Exposants de Lyapunov pour des systèmes à commutation aléatoire et applications en contrôle
Dans cet exposé, on présentera une approche permettant de caractériser les exposants de Lyapunov de systèmes à commutation aléatoire en temps continu à travers une application du Théorème ergodique multiplicatif d'Oseledets à un système associé en temps discret. Cela donne également une caractérisation de l'exposant de Lyapunov maximal et un critère de stabilité exponentielle presque sûre. Ces résultats seront ensuite appliqués au problème de la stabilisation de systèmes de contrôle à commutation aléatoire, pour lequel on montrera qu'il est possible d'atteindre des taux de convergence exponentielle presque sûre arbitrairement grands, en contraste avec le cas de la commutation déterministe.
Formalité minimaliste : pour faciliter l'organisation, merci de vous inscrire ci-dessous.
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| Nom | Prénom | Midi |
|---|---|---|
| Malrieu | Florent | Oui |
| Lagasquie | Gabriel | Oui |
| Fetique | Ninon | Oui |
| Bardet | Jean-Baptiste | Oui |
| yvinec | rom | Oui |
| Gabriel | Pierre | Oui |
| Sigalotti | Mario | Oui |
| Martin | Hugo | Oui |
| Bouguet | Florian | Oui |
| Mazanti | Guilherme | Oui |
| Marguet | Aline | Non |